Жилищная лотерея / Вероятность выигрыша лотерея

Решение проблем с выигрышем лотерейных билетов

Общая установка проблемы следующая:

Купленные лотерейные билеты $ n $. Способность выиграть для любого билета аналогична и равна $ p $ (проигрыш составляет $ q = 1-p $). Обнаружение успешных $ k $ успешных билетов (и, следовательно, потеря $ n-k $ билетов).

Используя формулу Бернулли, получаем:

$ $ P_n (k) = C_n ^ k cdot p ^ k cdot (1-p) ^ = C_n ^ k cdot p ^ k cdot q ^ . qquad (1) $

Учебное пособие и шаблон Excel

Посмотрите наше видео о решении лотерейных билетов в схеме Бернулли, узнайте, как использовать Excel для решения типичных задач.

Файл расчета Excel Excel можно скачать бесплатно и использовать для решения собственных задач.

Примеры решений по покупке лотерейных билетов

Рассмотрим несколько типичных примеров.

Пример 1. Возможность выиграть один лотерейный билет будет 0,2. Она купила 5 билетов. Откройте для себя возможность выиграть два билета.

Отсюда следует, что проблема связана с повторными независимыми тестами (покупка билетов), общим количеством приобретенных билетов $ n = 5, возможностью заработать $ p = 0,2 $, возможностью потерять $ q = 1-p = 1-0 , 2 = 0,8 доллара. Необходимо отметить, что это будут именно успешные билеты по $ k = 2 $. Заменив все на формулу (1) и получив: $ P_5 (2) = C_ <5> ^ 2 cdot 0.2 ^ 2 cdot 0.8 ^ 3 = 10 cdot 0.2 ^ 2 cdot 0.8 ^ 3 = 0.205. $$

Пример 2. Шанс выиграть лотерейный билет составляет 0,3. Вы приобрели 8 билетов. Для выявления возможности того, что а) успешен хотя бы один билет; б) как минимум 3 успешных билета

а) Рассмотрим первый случай. Получим параметры: $ n = 8 $, $ p = 0,3 $, $ k ge 1 $. Мы используем формулу для отмены действия (билеты не заработаны):

$$ P_8 (k ge 1) = 1-P_8 (k lt 1) = 1-P_8 (0) = $$ $$ = 1-C_ <8> ^ 0 cdot 0.3 ^ 0 cdot 0, 8 = 1-7,88 = 1-0,058 = 0,942. $$

Возможность выиграть хотя бы один билет из 8 приобретений равна 0,942 или 94,2%.

б) Рассмотрим случай 2. Получим параметры: $ n = 8 $, $ p = 0.3 $, $ k lt 3 $.

$$ P_8 (k lt 3) = P_8 (0) P_8 (1) P_8 (2) = $$ $$ = C_ <8> ^ 0 cdot 0.3 ^ 0 cdot 0.7 ^ 8 C_ <8> ^ 1 cdot 0,3 ^ 1 cdot 0,7 ^ C ^ <8> ^ 2cdot 0,3 ^ 2cdot 0,7 ^ 6 = $ $ $ $ 0,7 ^ 8 cdot 0,3 cdot 0,7 ^ 7 28 cdot 0,3 ^ 2 cdot 0,7 ^ 6 = 0,552. $$

Ответ: а) 0,942; б) 0,552.

Пример 3. Шанс выиграть лотерейный билет составляет 0,15. Какова вероятность выигрыша хотя бы одного из четырех билетов?

Представляем начальное действие:
$ A = $ (выиграет хотя бы один из четырех билетов),
и обратное действие, которое можно записать в виде:
$ overline = $ the 4 билеты будут бесполезными).

Тогда вероятность поискового действия (которым будет хотя бы один успешный тикет) равна: